世帯分離の手続きについては、各自治体(市区町村)の 「転入転出など住民票の異動に関する届出を担当する窓口」 が主管課となります。

世帯分離届は住民票主管課に届出する
世帯構成 1家屋に1世帯を1家屋に2世帯に分離

窓口で、住民票上の世帯を分けるための手続きを行いたいと申し出れば、必要な届出用紙を渡してくれるので、必要事項を記入して提出するだけです。
事前に電話等で手続きに必要となる書類を確認しておけば間違いありません。
一般的には、運転免許証などの身分証明書と認印ぐらいです。
(国保加入者の場合は保険証も必要)

通常は、届出者となる人は、世帯構成員であれば誰でも届出することができます。
世帯構成員でない人が手続きする場合には委任状が必要となります。

世帯分離が完了したら、その後は個別の手続きとなります。
ここから先は、窓口となる機関によって対応が異なります。

■市区町村の場合
今は、ほとんどの役所で、個人情報はコンピュータ化されているので、住民情報と健康保険、介護保険、年金などはオンラインで確認できるようになっているのがほとんどです。

世帯分離したことによって、 これらに異動の必要性(単独世帯としての保険証などの交付など)が発生するため、 同時に手続きが行われたり、関係部署に行くように案内されるはずです。
ほとんどの場合、住民側が手続きを行わなくても役所側で必要な処理を行ってくれるはずです。

■市区町村以外の場合
住民票に異動が生じたことは、自動的に把握されることはほとんどありません。
必要な手続きは自ら行う必要があります。